Тригонометрия: tg(a-) - tg(a+)

$tg(a- \frac{\pi}{4} )-tg(a+\frac{\pi}{4})= \frac{tga-tg \frac{\pi}{4} }{1+tga\cdot tg \frac{\pi}{4} } - \frac{tga+tg \frac{\pi}{4} }{1-tga\cdot tg \frac{\pi}{4} } =\\\\= \frac{tga-1}{1+tga} -\frac{tga+1}{1-tga} = \frac{(tga-1)^2-(tga+1)^2}{(1+tga)(1-tga)} =\\\\= \frac{(tga-1-(tga+1))(tga-1+tga+1)}{1-tg^2a} = \frac{-2\cdot 2tga}{1-tg^2a} =- \frac{4\cdot tga}{1-tg^2a }$

Можно продолжить дальше упрощать, если надо :

$- \frac{4\cdot tga}{1-tg^2a} =- \frac{4\cdot \frac{sina}{cosa}}{1-\frac{sin^2a}{cos^2a}} =- \frac{4\cdot sina\cdot cos^2a}{cosa\cdot (cos^2a-sin^2a)} =- \frac{2\cdot 2sina\cdot cosa}{cos^2a-sin^2a} =\\\\=- \frac{2sin2a}{cos2a} =-2\cdot tg2a$