Объем пирамиды V = 1/3 * S * h, где S - площадь основания пирамиды, h - высота пирамиды.
Площадь основания пирамиды = площади равнобедренного прямоугольного треугольника ABC, лежащего в основании пирамиды.
Площадь прямоугольного треугольника равняется половине произведения катетов. В данном треугольнике гипотенуза AB=6√2 - основание равнобедренного треугольника, катеты AC и BC равны как боковые стороны равнобедренного треугольника, оcтрые углы равны как углы при основании равнобедренного треугольника. Каждый из острых углов равен (180 - 90) / 2 = 45 градусов.
AC=BC= AB * sin 45° = 6√2 * √2/2 = 6 (см)
S= 1/2 * AC * BC = 1/2 * 6 * 6 = 18 (см²)
Проведем апофему грани КАB, т.е. опустим высоту КЕ на основание AB. Угол KEC = 45° является заданным углом между гранью KAB и плоскостью основания пирамиды.
Треугольник KCE является прямоугольным равнобедренным. Угол KCE= 90 град по условию, угол EKC= 180 - 90 - 45 = 45°
В прямоугольном равнобедренном треугольнике KCE гипотенуза KE является основанием, катеты KC = СE - боковые стороны.
КС является высотой (h) данной пирамиды.
CE является высотой (а также медианой и биссектисой) равнобедренного треугольника ABC, опущенной на его основание AB. CE делит угол ACB пополам ⇒ Угол ACE= 90 / 2 = 45° ⇒ треугольник ACE - равнобедренный с основанием AC и боковыми сторонами CE=AE= AB/2 (т.к. CE - медиана)
CE= 6√2 / 2 = 3√2 (см) ⇒ h= 3√2 (cм)
V = 1/3 * 18 * 3√2 = 18√2 (cм³)