Дана функция y=-(x-2)² + 9.
Алгоритм исследования свойств квадратичной функции.
1) Область определения - вся числовая ось: -∞ < x < ∞.<span>
2) Область значений.
График данной функции - парабола ветвями вниз, максимум её находится в вершине.
Координаты вершины даны в задании:
Хо = -(-2) = 2,
Уо = -(2-2)^2 + 9 = 9.
То есть, у ∈ (-∞; 9].
3) Четность нечетность функции.
f(-x) = -(-x-2)^2 + 9 = (x+2)^2 + 9 ≠ f(x) и ≠ -f(x).
Значит, функция не чётная и не нечётная
4) Нули функции.
Приравниваем функцию нулю: -(x-2)^2 + 9 = 0.
Раскроем скобки: -х²+4х-4+9 = 0,
Получаем квадратное уравнение -х²+4х+5 = 0.
Квадратное уравнение, решаем относительно x: Ищем дискриминант:
D=4^2-4*(-1)*5=16-4*(-1)*5=16-(-4)*5=16-(-4*5)=16-(-20)=16+20=36;Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:
x_1=(√36-4)/(2*(-1))=(6-4)/(2*(-1))=2/(2*(-1))=2/(-2)=-2/2=-1;x_2=(-√36-4)/(2*(-1))=(-6-4)/(2*(-1))=-10/(2*(-1))=-10/(-2)=-(-10/2)=-(-5)=5.
Есть 2 точки пересечения с осью Ох: х = -1 и х = 5.5) Промежутки знакопостоянства.
Часть графика выше оси Ох имеет положительные значения, ниже оси Ох - отрицательные.
f(x) > 0 ⇒ x ∈ (-1; 5),
f(x) < 0 ⇒ x ∈ (-∞; -1) ∪ (5; +∞).
6) Промежутки монотонности.
Функция, график которой имеет ветви вниз, возрастает на промежутке от -∞ до вершины, убывает - от вершины до +∞, то есть:
- возрастает при x ∈ (-∞; 2),
- убывает при х ∈ (2; +∞).
7) Экстремумы функции.
Экстремум у квадратичной функции один и находится в вершине её графика - параболы.
Для заданной функции y=-(x-2)^2 + 9 экстремум - это максимум и находится в точке Хо = 2. Значение функции в этой точке Умакс = 9.
8) График приведен в приложении.