Если производная функции y=f(x) положительна для любого x из
интервала X, то функция возрастает на X.
Следовательно, чтобы функция возрастала на всём множестве
действительных чисел, производная должна быть положительна на всей числовой
оси.
Найдём производную:
f(x)=(ax³+(3/2)x²+ax)'=3ax²+3x+a
Необходимо, чтобы 3ax²+3x+a>0 для всех х.
Тогда
должны выполняться два условия:
1) а>0, тогда ветви параболы будут направленны вверх.
2) D<0, тогда не будет нулей, график производной будет располагаться выше оси Ох.</span>
Найдём
дискриминант, учитывая, что в выражении 3ax²+3x+a
первый
коэффициент равен 3а, второй коэффициент равен 3, свободный член а.
D=3²-4∙3а∙а=9-12а²
9-12а²<0</span>
4а²-3>0
Решим методом интервалов:
а1=-√3/2; а2=√3/2
///////////////// /////////////////
-∞ -√3/2 √3/2 +∞
+ - +
а
а>√3/2
Учитывая,
что а>0, получаем ответ: а>√3/2