Поместье с задачей 6.11

Допустим, это все-таки число е

производных первого порядка 2:
$z'_x; \ z'_y$

производных второго порядка 4:
$z''_{xx}; \ z''_{yy} ;\ z''_{xy}; \ z''_{yx}$

Причем две последние всегда равны, в этом можно убедиться

$6.11) \ z=e^{2x^2+y^2}\\ \\z'_x=4xe^{2x^2+y^2}\\ \\ z'_y=2ye^{2x^2+y^2} \\ \\ z''_{xx}=(4x)'e^{2x^2+y^2}+4x(e^{2x^2+y^2})'=4e^{2x^2+y^2}+4x*4xe^{2x^2+y^2}= \\ \\ = 4e^{2x^2+y^2}+16x^2e^{2x^2+y^2}=4e^{2x^2+y^2}(1+4x^2) \\ \\z''_{yy}=(2y)'e^{2x^2+y^2}+2y(e^{2x^2+y^2})'=2e^{2x^2+y^2}+2y*2ye^{2x^2+y^2}= \\ \\ = 2e^{2x^2+y^2}+4y^2e^{2x^2+y^2}=2e^{2x^2+y^2}(1+4y^2) \\ \\z''_{xy}=4xe^{2x^2+y^2}*2y=8xye^{2x^2+y^2} \\ \\ z''_{yx}=2ye^{2x^2+y^2}*4x=8xye^{2x^2+y^2}=z''_{xy} \\ \\ \\$

$OTBET: \ z''_{xx}=4e^{2x^2+y^2}(1+4x^2) \\ \\z''_{yy}=2e^{2x^2+y^2}(1+4y^2) \\ \\z''_{xy}=z''_{yx} =8xye^{2x^2+y^2}$