даю 12 баллов.

$x^2+y^2+10x+6y+34=0$
$x^2+10x+25+y^2+6y+9=0$
$(x^2+2*x*5+5^2)+(y^2+2*y*3+3^2)=0$
по формуле квадрата двучлена $(A+B)^2=A^2+2AB+B^2$
$(x+5)^2+(y+3)^2=0$
квадрат действительного выражения всегда неотрицателен,
сумма двух неотрицательных выражений равна 0 тогда и только тогда когда каждое из них равно 0
$(x+5)^2=0; (y+3)^2=0$
$x+5=0; y+3=0$
$x=-5; y=-3$
ответ: (-5;-3)