Запишем неизвестное двузначное число в виде a*10+b, где a≠0 (иначе число будет однозначным). Тогда по условию a*10+b+b*10+a=11*a+11*b=11*(a+b)=n², где n² - натуральное число. Так как число a может принимать любые натуральные значения от 1 до 9, а число b - любые целые значения от 0 до 9, то их сумма может быть натуральным числом от 1 до 18. Тогда произведение 11*(a+b) может принимать значения 11,22,33,44,55,66,77,88,99,110,121,132,143,154,165,176,187,198,209. Из этих чисел квадратом натурального числа является только число 121=11².Отсюда следует, что a+b=11. А это возможно в следующих случаях:
a=2, b=9 - число 29
a=3, b=8 - число 38
a=4, b=7 - число 47
a=5, b=6 - число 56
a=6, b=5 -число 65
a=7, b=4 - число 74
a=8, b=3 - число 83
a=9, b=2 - число 92.
Сумма этих чисел S есть сумма арифметической прогрессии с первым членом a1=29, разностью прогрессии d=9 и числом членов n=8. Тогда S=8*(29+92)/2=4*121=484. Ответ: 484.