Xy'+y=4x^3 решите уравнение

$xy'+y=4x^3|:x\\ \\ y'+ \frac{y}{x} =4x^2$

Получили линейное неоднородное дифференциальное уравнение первого порядка.
Воспользуемся методом Бернулли.
Пусть $y=uv$ , тогда $y'=u'v+uv'$ , получаем

$u'v+uv'+ \frac{uv}{x} =4x^2\\\\ u'v+u(v'+ \frac{v}{x} )=4x^2$

Данный метод состоит из двух этапов:

1) $v'+\frac{v}{x} =0$ - это уравнение с разделяющимися переменными, отсюда $v= \frac{1}{x}$

2) Находим u

$u'=4x^3$

Интегрируя обе части уравнения, имеем

$u=x^4+C$

Обратная замена

$y=\frac{1}{x}(x^4+C)=x^3+\frac{C}{x}$ - общее решение