Помогите исследовать функцию

Question

Дан 1 ответ

Правильный ответ

Лучше немного преобразовать функцию.
$f(x)= \frac{x^2}{x^2-1}= \frac{x^2-1+1}{x^2-1}=1+ \frac{1}{x^2-1} = 1+ \frac{1}{(x+1)(x-1)}$
Теперь исследовать функцию намного проще.
1) Область определения: x ∈ (-oo; -1) U (-1; 1) U (1; +oo)
2) Не периодическая, четная.
3) Точки разрыва: x = -1; x = 1 - неустранимые разрывы 2 рода.
4) Пересечение с осями.
x = 0; y(0) = 1 + 1/(-1) = 0
O(0; 0). Других пересечений с осями нет.
5) Критические точки.
$y'= \frac{-2x}{(x^2-1)^2}=0$
x = 0; y(0) = 0
6) Монотонность
При x ∈ (-oo; -1) U (-1; 0) будет y ' > 0 - функция возрастает
При x ∈ (0; 1) U (1; +oo) будет y ' < 0 - функция убывает
O(0, 0) - точка максимума.
7) Точки перегиба
$y''= -\frac{2(x^2-1)^2-2x*2(x^2-1)*2x}{(x^2-1)^4}= -\frac{2(x^2-1)-8x^2}{(x^2-1)^3}= -\frac{-2-6x^2}{(x^2-1)^3}= 2* \frac{1+3x^2}{(x^2-1)^3} =0$
1 + 3x^2 = 0
Решений нет. Точек перегиба нет.
8) Выпуклость и вогнутость
При x ∈ (-oo; -1) U (1; +oo) будет y '' > 0, график вогнутый (выпуклый вниз).
При x ∈ (-1; 1) будет y '' < 0, график выпуклый вверх.
9) Асимптоты
Вертикальные - в точках разрыва x = -1 и x = 1
Наклонные и горизонтальные: f(x) = kx + b
$k = \lim_{x \to \infty} \frac{y}{x}= \lim_{x \to \infty} ( \frac{1}{x} + \frac{1}{x(x^2-1)} )= \frac{1}{oo}+ \frac{1}{oo} =0$
$b= \lim_{x \to \infty} (y-k*x)=\lim_{x \to \infty} (1+ \frac{1}{x^2-1} )=1+ \frac{1}{oo}=1+0=1$
Асимптота y = 1 - горизонтальная.
10) График примерно нарисован на картинке.

mefody66_zn (320k баллов) 14 Май, 18