Решить, не применяя правило Лопиталя.

Используя эквивалентные бесконечно малые величины, получаем:
$\Large\lim_{x\to0}{1-\cos{(12\sqrt{x})}\over2}\cdot {1\over x(1+\cos{(6\sqrt{x})})}=\lim_{x\to0}{(12\sqrt{x})^2\over4}\cdot {1\over x(1+\cos{(6\sqrt{x})})}=\lim_{x\to0} {144x \over 4x(1+\cos{(6\sqrt{x})})}=\lim_{x\to0}{36\over(1+\cos{(6\sqrt{x})})}={36\over(1+1)}=18$