Упростите выражение.......................

0 голосов
31 просмотров

Упростите выражение.......................


image

Алгебра (7.2k баллов) | 31 просмотров
Дан 1 ответ
0 голосов
Правильный ответ

Решите задачу:

\dfrac{1-2\sin^2 \alpha }{2\mathrm{ctg}( \frac{ \pi }{4}+ \alpha )\cdot\cos^2( \frac{ \pi }{4}- \alpha ) } =
 \dfrac{\cos2 \alpha }{2\mathrm{ctg}( \frac{ \pi }{4}+ \alpha )\cdot \frac{1+\cos2(\frac{ \pi }{4}- \alpha )}{2} } =
\\\
=\dfrac{\cos2 \alpha }{\mathrm{ctg}( \frac{ \pi }{4}+ \alpha )\cdot (1+\cos(\frac{ \pi }{2}-2 \alpha ) ) } 
=\dfrac{\cos2 \alpha }{\mathrm{ctg}( \frac{ \pi }{4}+ \alpha )\cdot (1+\sin2 \alpha ) } =
=\dfrac{1 }{\mathrm{ctg}( \frac{ \pi }{4}+ \alpha) } \cdot \dfrac{\cos2 \alpha }{ 1+\sin2 \alpha } 
=\mathrm{tg}( \frac{ \pi }{4}+ \alpha )\cdot \dfrac{\cos^2 \alpha-\sin^2 \alpha }{ \cos^2 \alpha +\sin^2 \alpha +\sin2 \alpha } =
\\\
= \dfrac{\mathrm{tg} \frac{ \pi }{4}+\mathrm{tg} \alpha }{1-\mathrm{tg} \frac{ \pi }{4} \mathrm{tg} \alpha } \cdot \dfrac{(\cos \alpha-\sin \alpha )(\cos \alpha+\sin \alpha )}{( \cos \alpha +\sin \alpha)^2 } =
= \dfrac{1+\mathrm{tg} \alpha }{1-\mathrm{tg} \alpha } \cdot \dfrac{\cos \alpha-\sin \alpha }{ \cos \alpha +\sin \alpha } =
 \dfrac{1+ \frac{\sin \alpha }{\cos \alpha } }{1-\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha } } \cdot \dfrac{\cos \alpha-\sin \alpha }{ \cos \alpha +\sin \alpha } =
\\\
= \dfrac{\cos \alpha + \sin \alpha }{\cos \alpha -\sin \alpha } \cdot \dfrac{\cos \alpha-\sin \alpha }{ \cos \alpha +\sin \alpha } =1
(271k баллов)
0

спасибо