Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальным условиям.

Question

Дан 1 ответ

Правильный ответ

Найдем сначала однородное уравнение:
$y''-5y'+6y=0$
Пользуясь методом Эйлера, имеем характеристическое уравнение вида:
$k^2-5k+6=0$

Корни которого $k_1=3$ и $k_2=2$

Общее решение однородного уравнения: $y_o=C_1e^{3x}+C_2e^{2x}$

2) Найдем частное решение

Положим $f(x)=(12x-7)e^{-x}$
$\alpha =-1;\,\,\,\, P_n(x)=12x-7),\,\,\, n=1$ тогда частное решение будем искать в виде:
$\widetilde{y}=(Ax+B)e^{-x}$

Найдем первую и вторую производную
$y'=-e^{-x}(Ax+B)+Ae^{-x}\\ \\ y''=e^{-x}(Ax+B)-Ae^{-x}-Ae^{-x}=e^{-x}(Ax+B)-2Ae^{-x}$

Подставим в исходное уравнение

$Ax+B-2A-5(-(Ax+B)+A)+6(Ax+B)=12x-7\\ Ax+B-2A+5Ax+5B-5A+6Ax+6B=12x-7\\ 12Ax+12B-7A=12x-7$

Приравниваем коэффициенты при степени x

$\displaystyle \left \{ {{12A=12} \atop {12B-7A=-7}} \right. \to \left \{ {{A=1} \atop {B=0}} \right.$

Тогда частное решение имеет вид: $\widetilde{y}=xe^{-x}$

Общее решение неоднородного уравнения: $y=y_o+\widetilde{y}=C_1e^{3x}+C_2e^{2x}+xe^{-x}$
$y'=3C_1e^{3x}+2C_2e^{2x}+e^{-x}-xe^{-x}$
Найдем решение задачи Коши

$\displaystyle \left \{ {{C_1+C_2=0} \atop {3C_1+2C_2+1=0}} \right. \to \left \{ {{C_1=-1} \atop {C_2=1}} \right.$

$\boxed{y=-e^{3x}+e^{2x}+xe^{-x}}$

аноним 14 Май, 18