Найти частное решение линейного однородного дифференциального уравнения при заданных...

Воспользуемся методом Эйлера.
Пусть $y=e^{kx}$ , тогда будем иметь характеристическое уравнение следующего вида:
$5k^2+6k+5=0\\ D=b^2-4ac=6^2-100=-64;\,\,\,\,$
$k_{1,2}= -\frac{3}{5} \pm \frac{4}{5}i$

Тогда общее решение однородного уравнения:
$y=C_1e^{- \frac{3}{5} x}\cos \frac{4}{5} x+C_2e^{- \frac{3}{5} x}\sin \frac{4}{5} x$

Решим задачу Коши

$\displaystyle \left \{ {{C_1=2} \atop {- \frac{3}{5}C_1+ \frac{4}{5} C_2=1 }} \right. \to \left \{ {{C_1=2} \atop {C_2= \frac{11}{4} }} \right.$

Частное решение: $\boxed{y=2e^{- \frac{3}{5} x}\cos \frac{4}{5} x+\frac{11}{4} e^{- \frac{3}{5} x}\sin \frac{4}{5} x}$