Решить уравнение

Question

Дан 1 ответ

artalex74_zn · Answer 1 · 2018-05-14T15:35:57+0000

Данное уравнение удобно решать методом оценки (т.е. сравнения области значений функций, стоящих в левой и правой части уравнения).
Находим О.Д.З.: $\begin {cases} x(4-x) \geq 0 \\ (1-x)(x-3) \geq 0\\ x(2-x) \geq 0 \end {cases} \Leftrightarrow \begin {cases} x \in [0;4] \\ x \in [1;3] \\ x \in [1;2] \end {cases} \Rightarrow x \in [1;2].$

1) Рассмотрим функцию $f(x)= \sqrt{4x-x^2}$ на отрезке [1; 2].
Подкоренное выражение - квадратичная функция, график которой - парабола с ветвями вниз. Значит, данное выражение может принимать наибольшее значение в вершине параболы:
$x_o= \frac{-b}{2a} = \frac{-4}{-2} =2$
$f(2)= \sqrt{4*2-2^2} = \sqrt{4} =2$
Наименьшее значение, равное √3, f(x) принимает при х=1.

2) Рассмотрим функцию $g(x)=\sqrt{4x-x^2-3}$ на отрезке [1; 2].
Подкоренное выражение - квадратичная функция, график которой - парабола с ветвями вниз. Значит, данное выражение может принимать наибольшее значение в вершине параболы:
$x_o= \frac{-b}{2a} = \frac{-4}{-2} =2$
$g(2)= \sqrt{4*2-2^2-3} = \sqrt{1} =1$
Наименьшее значение, равное 0, g(x) принимает при х=1.

3) Левая часть исходного уравнения - сумма f(x) + g(x) на отрезке [1; 2].
f(2)+g(2)= 2+1 = 3 - наибольшее значение левой части исходного уравнения, которое достигается при х = 2.
f(1)+g(1) = √3 + 0 = √3 - наименьшее значение суммы (при х=1).

Итак, область значений левой части есть [√3; 3]

4) Рассмотрим функцию $h(x)= 3+\sqrt{2x-x^2}$ на отрезке [1; 2].
Подкоренное выражение - квадратичная функция, график которой - парабола с ветвями вниз. Значит, данное выражение может принимать наибольшее значение в вершине параболы:
$x_o= \frac{-b}{2a} = \frac{-2}{-2} =1$
$h(1)=3+ \sqrt{2*1-1^2} =3+ \sqrt{1} =4$
Наименьшее значение, равное 3, h(x) принимает при х=2.

Итак, область значений правой части есть [3; 4].

5) Вывод. Корни уравнения существуют при х∈[1; 2].
Левая часть имеет значения из [√3; 3], а правая - из [3; 4].
Видим, что левая и правая части исходного уравнения равны 3 при х=2.
Ни при каких других значениях х левая и правая части не имеют общих значений.
Значит, х=2 - единственный корень.
Проверка:
$\sqrt{4*2-2^2} + \sqrt{4*2-2^2-3}=3+\sqrt{2*2-2^2}\\ \sqrt{4} + \sqrt{1}=3+\sqrt{0}\\ 2+1=3\\ 3=3$
равенство верное.
Ответ: 2.