Вычислите значение выражения, если известно, что loga b (логарифм b по основанию a)=2

Question 1

Question 2

Применены свойства логарифмов и степеней

Question 3

Решите задачу:

$log_{a}b=2\\\\4)\; \; 3log_{\frac{a^3}{b}} \frac{\sqrt{a}}{\sqrt[3]{b}} +log_{\frac{a^3}{b}}b=3(log_{\frac{a^3}{b}}\sqrt{a}-log_{\frac{a^3}{b}}\sqrt[3]{b})+log_{\frac{a^3}{b}}b=\\\\=3\cdot \frac{log_{a}a^{\frac{1}{2}}}{log_{a}\frac{a^3}{b}}- 3\cdot \frac{1}{3}\cdot log_{\frac{a^3}{b}}b+log_{\frac{a^3}{b}} b=3\cdot \frac{\frac{1}{2}}{3-log_{a}b} = \frac{3}{2\cdot (3-2)} =\frac{3}{2}$

$5)\; \; log_{ \sqrt{a} }(b\sqrt[4]{a})+log_{ \sqrt{b} }a+log_{a}\sqrt{ab}=\\\\=2log_{a}(b\sqrt[4]{a})+2log_{b}a+\frac{1}{2}log_{a}(ab)=\\\\=2(log_{a}b+\frac{1}{4}log_{a}a)+\frac{2}{log_{a}b}+\frac{1}{2}(log_{a}a+log_{a}b)=\\\\=2(log_{a}b+\frac{1}{4})+\frac{2}{2}+\frac{1}{2}(1+log_{a}b)=\\\\=2(2+\frac{1}{4})+1+\frac{1}{2}\cdot (1+2)=\frac{2\cdot 9}{4}+1+\frac{3}{2}=\frac{12}{2}+1=7$

$6)\; \; log_{\frac{b}{\sqrt[3]{a}}} \frac{\sqrt[5]{b}}{ \sqrt{a} } +3log_{\frac{b}{\sqrt[3]{a}}}\sqrt{ab}=\\\\=log_{\frac{b}{\sqrt[3]{a}}}\sqrt[5]{b}-log_{ \frac{b}{\sqrt[3]{a}} }\sqrt{a}+\frac{3}{2}log_{ \frac{b}{\sqrt[3]{a}} }(ab)=\\\\= \frac{1}{5}log_{\frac{b}{\sqrt[3]{a}} }b- \frac{1}{2}log_{ \frac{b}{\sqrt[3]{a}} }a + \frac{3}{2}log_{ \frac{b}{ \sqrt[3]{a} } }a+ \frac{3}{2}log_{ \frac{b}{ \sqrt[3]{a} } }b= \\\\=\frac{17}{10}log_{\frac{b}{\sqrt[3]{a}}}b+log_{\frac{b}{\sqrt[3]{a}}}a=$

$= \frac{17}{10} \cdot \frac{log_{a}b}{log_{a}b-log_{a}a^{\frac{1}{3}}} + \frac{1}{log_{a}b-log_{a}a^{\frac{1}{3}}} = \frac{17\cdot 2}{10(2-\frac{1}{3})} +\frac{1}{2-\frac{1}{3}} =\\\\= \frac{17}{5\cdot \frac{5}{3}} +\frac{1}{\frac{5}{3}}=\frac{17\cdot 3}{25}+\frac{3}{5}=\frac{66}{25}=2,64$