Периметр прямоугольника с длинами сторон х и у равен
P=2(x+y)=24
x+y=12 ⇒ y=12-x
Площадь прямоугольника равна S=xy=x(12-x)=12x-x²
Найдём экстремумы функции S(x):
S'(x)=12-2x=2(6-x)=0 ⇒ x=6 критическая точка
Знаки производной:
+++++(6)- - - - -
S(x) возрастает на интервале (-∞ , 6) и убывает на (6,+∞).
Точка х=6 - точка max.
у=12-х=12-6=6
Значит наибольшую площадь прямоугольник имеет при х=6 и у=6.
То есть наибольшую площадь имеет квадрат со стороной в 6 см и периметром в 24 см.