Исследовать функцию f(x)=x^2+4/x^2-4 Нужно найти область определения, четность/нечетность, точки пересечения, непрерывность/точки разрыва, асимптоты,интервалы монотонности и критические точки, интервалы выпуклости и точки перегиба.
f(x)=x^2+4/x^2-4
4/x^2 отдельно от -4 ?
или вместе с x^2 ?
Область определения - это множество точек х, при которых f(x) (другими словами, f(x) можно посчитать) хЄ(-oo;0)U(0;+oo) другими словами, исключается только точка х = 0
возьмем точку из второго интервала и посчитаем значение производной в ней. х = -1. f`(-1) = 2*(-1) -(8/(-1)^3) = -2 + (8/1) = -2 + 8 = 6 > 0 это значит, что функция на этом интервале возрастает
возьмем точку из третьего интервала и посчитаем значение производной в ней. х = 1. f`(1) = 2*1 -(8/1^3) = 2 - (8/1) = 2 - 8 = -6 < 0 это значит, что функция на этом интервале спадает
по поведению функции на первых двух интервалах выходит, что точка -2^(1/2) - точка локального максимума
возьмем точку из четвертого интервала и посчитаем значение производной в ней. х = 2. f`(2) = 2*2 -(8/2^3) = 2 - (8/8) = 4 - 1 = 3 > 0 это значит, что функция на этом интервале возрастает
по поведению функции на последних двух интервалах выходит, что точка 2^(1/2) - точка локального минимума
для того, чтобы найти интервалы выпуклости и точки перегиба, нужно найти вторую производную функции
f''( x ) = (2х)' -(8/x^3)' = 2 - (-3)*(8/x^4) = 2 + (24/x^4)
f''( x ) > 0 при любых х из области определения функции
это значит, что функция точек перегиба не имеет
и на всей области определения вогнута вниз