Около равнобедренного треугольника ABC описана окружность с центром М. продолжения...

Question

Около равнобедренного треугольника ABC описана окружность с центром М. продолжения отрезка CM пересекает сторону АВ в точке Р а окружность в точке Q. известно что AP:PB=5:4.найдите отношения CP:PQ

Answer 1

AB не может быть основанием треугольника, т.к. тогда AP/PB=1:1. Без ограничения общности можно считать, что AC - основание.
Т.к. QC - диаметр, то ∠CAQ=90°.
Т.к. M - центр описанной окружности и ABC - равнобедренный, то BM⊥AC.
Отсюда BM||AQ, т.е. треугольник APQ подобен BPM, а значит PM/PQ=PB/AP=4/5. Таким образом,
PM=4PQ/5,
MC=MQ=PM+PQ=(4/5+1)PQ=9PQ/5,
CP=MC+PM=9PQ/5+4PQ/5=13PQ/5.
Итак, ответ: СP/PQ=13/5.