Найти интеграл

0 голосов
39 просмотров

Найти интеграл
\int\limits {e^{-|x|}} \, dx


Алгебра (10.8k баллов) | 39 просмотров
0

Через интеграл Фурье пробовали?

0

А не слишком ли через Фурье?))

0

Иногда легко вывести формулу )

Дан 1 ответ
0 голосов
Правильный ответ

Сначала возьмем интегралы в областях, в которых мы все знаем про функцию

x\ \textless \ 0\\
\int e^{-(-x))}dx = e^x+C_1\\\\
x\geq 0\\
\int e^{-x}dx = -e^{-x}+C_2

Хотелось бы, чтобы первообразная, склеенная из двух половинок, была непрерывной функцией, иначе возникнут как минимум 2 проблемы - во первых, с дифференцируемостью в точке разрыва (ну допустим мы ее решим предельным переходом) и с нахождением площади под графиком, а это уже будет посложнее.

Поэтому заметим, что если выбрать постоянную С=0 в обоих случаях, то левая ветка стремится к e^0 = 1 а правая ветка к -e^(0)=-1 - разрыв имеет ширину 2. Поэтому хорошая первообразная должна иметь такой вид

\displaystyle\\
\int e^{-|x|}dx = \left\{\begin{aligned}&e^{x}+C,x\ \textless \ 0\\&2-e^{-x}+C,x\geq 0\end{aligned}\right.

Графиком такой функции будет гладкая неразрывная кривая, имеющая производную в нуле.

(4.1k баллов)