Необходимо доказать методом математической индукции.

Question

Дан 1 ответ

Правильный ответ

Принцип математической индукции прост:
1)Сначала докажем, что это равенство верно при n = 1. Для этого подставим в левую и правую часть n = 1. При этом, как нетрудно понять, слева будет лишь одно слагаемое.
$\frac{1 * 2^{1} }{(1+2)!} = 1 - \frac{ 2^{1+1} }{(1+2)!} \\ \frac{2}{3!} =1 - \frac{4}{3!} \\ \frac{2}{6} = \frac{6 - 4}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ - это, разумеется, верно. Равенство при n = 1 доказано.

2)Доказываем индукционный переход. А именно, пусть равенство верно при каком-то $n = k$ . Из данного предположения надо вывести, что равенство верно и для $n = k+1$ .

Чтобы это сделать, распишем данное равенство при $n = k+1$ . При этом для большей наглядности не буду писать знак суммирования, а запишу ряд развёрнуто, не забыв записать и слагаемое, получающееся и при n = k.

$\frac{1}{3} + ... + \frac{k * 2^{k} }{(k+2)!} + \frac{(k+1) 2^{k+1} }{(k+3)!} = 1 - \frac{ 2^{k+1+1} }{(k+3)!}$

То есть, надо доказать справедливость вот такого равенства. Теперь вспоминаем, что у нас есть верное при n = k равенство, и первые k слагаемых заменяем на его сумму при n = k. Последнее слагаемое переписываем. После чего приводим всё к одному знаменателю и делаем другие преобразования:

$1 - \frac{ 2^{k+1} }{(k+2)!} + \frac{(k+1) 2^{k+1} }{(k+3)!} = 1 + \frac{(k+1) 2^{k+1} }{(k+2)!(k+3)} - \frac{ 2^{k+1} }{(k+2)!} = \\ 1 + \frac{(k+1) 2^{k+1}-(k+3) 2^{k+1} }{(k+3)!} = 1 + \frac{ 2^{k+1} (k + 1 - k - 3)}{(k+3)!} =$ $1 + \frac{(-2) 2^{k+1} }{(k+3)!} = 1 - \frac{2 * 2^{k+1} }{(k+3)!} = 1 - \frac{ 2^{k+1+1} }{(k+3)!}$

Итак, мы доказали, что если при некотором натуральном n = k равенство верно, то оно же верно и при n = k+1. Согласно методу математической индукции равенство доказано.

Kulakca_zn (6.8k баллов) 14 Май, 18