|x - (a^2 - a - 2)| + |x - (a^2 - 3a + 1)| = 2a - 3
Могут быть 4 варианта:
1) Под обоими модулями выражения < 0
{ x < a^2 - a - 2
{ x < a^2 - 3a + 1
-x + a^2 - a - 2 - x + a^2 - 3a + 1 = 2a - 3
2a^2 - 4a -1 - 2a + 3 = 2x
2x = 2a^2 - 6a + 2
x = a^2 - 3a + 1 - не может быть, по условию x < a^2 - 3a + 1
Решений нет
2) Под 1 модулем выражение < 0, под 2 модулем >= 0
{ x < a^2 - a - 2
{ x >= a^2 - 3a + 1
-x + a^2 - a - 2 + x - a^2 + 3a - 1 = 2a - 3
2a - 3 = 2a - 3
Это верно при любых x, удовлетворяющих неравенствам.
У нас x должен быть за пределами интервала (4; 19).
2а) a^2 - a - 2 < 4
a^2 - a - 6 < 0
(a - 3)(a + 2) < 0
a ∈(-2; 3)
2б) a^2 - 3a + 1 > 19
a^2 - 3a - 18 > 0
(a - 6)(a + 3) > 0
a ∈ (-oo; -3) U (6; +oo)
Промежутки в решениях а) и б) не пересекаются, значит, решений нет.
При всех этих значениях а и при любом х будет
x - (a^2 - a - 2) > x - (a^2 - 3a + 1)
То есть, если x - (a^2 - a - 2) < 0, то тем более x - (a^2 - 3a + 1) < 0
3) Под 1 модулем выражение >= 0, под 2 модулем < 0
{ x >= a^2 - a - 2
{ x < a^2 - 3a + 1
x - a^2 + a + 2 - x + a^2 - 3a + 1 = 2a - 3
-2a + 3 = 2a - 3
6 = 4a
a = 1,5
Проверяем
|x - 2,25 + 1,5 + 2| + |x - 2,25 + 3*1,5 - 1| = 2*1,5 - 3
|x + 1,25| + |x + 1,25| = 0
x = -1,25 ∉ (4; 19)
Подходит, а = 1,5 - ЭТО РЕШЕНИЕ.
4) Под обоими модулями выражения >= 0
{ x >= a^2 - a - 2
{ x >= a^2 - 3a + 1
x - a^2 + a + 2 + x - a^2 + 3a - 1 = 2a - 3
2x = 2a^2 - 4a - 1 + 2a - 3
x = a^2 - a - 2 - это может быть, в отличие от случая 1)
|0| + |(a^2 - a - 2) - (a^2 - 3a + 1)| = 2a - 3
|2a - 3| = 2a - 3
2a - 3 >= 0
a >= 1,5
x = a^2 - a - 2 >= 2,25 - 1,5 - 2
x >= -1,25
Найдем, при каких а будет x = 4 и x = 19
4а) x = a^2 - a - 2 = 4
a^2 - a - 6 = 0
(a + 2)(a - 3) = 0
a = -2 < 1,5 - не подходит
a = 3 - подходит
a ∈ [1,5; 3) - ЭТО РЕШЕНИЕ
4б) x = a^2 - a - 2 = 19
a^2 - a - 21 = 0
D = 1 - 4*(-21) = 85
a1 = (1 - √85)/2 ≈ -4,11 < 1,5 - не подходит
a2 = (1 + √85)/2 ≈ 5,11 - подходит.
x > 19 при a > (1 + √85)/2 - ЭТО РЕШЕНИЕ
Ответ: a ∈ [1,5; 3) U ((1 + √85)/2; +oo)