Z=2*y^2+x^3-3*x^2*y - это функция двух переменных, которая представляет собой поверхность трёхмерного пространства (шар, гиперболоид, плоскость и т.д.)
Для частной производной справедливы все правила дифференцирования и таблица производных элементарных функций.
Сначала найдём частные производные первого порядка. Их две.
z'(x)=dz/dx - частная производная по х
z'(y)=dz/dy - частная производная по у.
Когда мы находим частную производную по х, то переменная у - считается константой и наоборот.
z'(x) , где (х) - подстрочный индекс (не терять!!!)
z'(x)=(2*у^2+x^3-3*x^2*y)'(x)=(2*y^2)'(x)+(x^3)'(x)-(3*x^2*y)'(x)=
=0+3*x^2-6*x*y=3*x^2-6*x*y
z'(y)=(2*y^2+x^3-3*x^2*y)'(y)=(2*y^2)'(y)+(x^3)'(y)-(3*x^2*y)'(y)=
=4*y+0-3*x^2=-3*x^2+4*y
Эти производные характеризуют скорость изменения функции или её "рельефа" (спадов и подъёмов) в направлении параллельно осей ОХ и ОУ соответственно.
Находим производные второго порядка.
z"(хx)=d^2z/dx^2=(3*x^2-6*x*y)'(x)=(3*x^2)'(x)-(6*x*y)'(y)=6*x-6*y=6*(x-y) - вторая производная по х.
z"(yy)=d^2z/dy^2=(-3*x^2+4*y)'(y)=(-3*x^2)'(y)+(4*y)'(y)=0+4=4 - вторая производная по у.
z"(xy)=d^2z/dxdy=(3*x^2-6*x*y)'(y)=(3*x^)'(y)-(6*x*y)'(y)=0-6*x=-6*x - смешанная производная х по у.
z"(yx)=d^2z/dydx=(-3*x^2+4*y)'(x)=(-3*x^2)'(x)+(4*y)'(x)=-6*x+0=-6*x - смешанная производная у по х.
z"(xy)=z"(yx) - частные производные найдены правильно.