Задание № 7:
Четырехугольник PQRS вписан в окружность. Диагонали PR и QS
перпендикулярны и пересекаются в точке M. Известно, что PS=13, QM=10, QR=26.
Найти площадь четырехугольника PQRS.
углы PRQ и PSQ опираются на
одну и ту же дугу, значит они равны. кроме того диагонали перпендикулярны,
значит в частности углы PMS и RMQ равны
тогда треугольники PMS и RMQ
подобны
k=QR/PS=2
отношение k=QM/PM=2
10/PM=2; PM=5
отношение k=RM/SM=2
находим RM по т. Пифагора
RM=корень(QR^2-QM^2)=корень(26^2-10^2)=24
24/SM=2; SM=12
тогда полные диагонали:
QS=QM+SM=10+12=22
PR=PM+RM=5+24=29
площадь четырехугольника равна
полупроизведению их диагоналей на синус угла между ними
S=(1/2)*22*29*sin90=319
ответ: 319