Доброе утро всем)) нужно решить 208 задание))заранее благодарен за решение))

Question

Дан 1 ответ

Правильный ответ

$y''-5y'+6y=13\sin 3x$

Составим характеристическое уравнение однородного уравнения.
Пусть $y=e^{kx}$ , тогда

$k^2-5k+6=0\\ k_1=3\\ k_2=2$

Общее решение однородного уравнения: $y_o=C_1e^{3x}+C_2e^{2x}$

2) Найдем теперь частное решение

Рассмотрим функцию $f(x)=13\sin 3x$

$P_n(x)=0;\,\,\,\, R_m(x)=13;\,\,\, \alpha=0;\,\,\,\, \beta =3;\,\,\,\, m=1$

Тогда общее решение можно найти следующим образом

$y^{-}=A\cos 3x+B\sin 3x\\ \\ y'=-3A\sin 3x+3B\cos 3x\\ \\ y''=-9A\cos 3x-9B\sin 3x$

Подставив в исходное уравнение, имеем

$15A\sin 3x-3A\cos3x-3B\sin 3x-15B\cos 3x=13\sin 3x$

Приравниваем коэффициенты при sin3x и cos 3x

$\displaystyle \left \{ {{15A-3B=13} \atop {-3A-15B=0}} \right. \to \left \{ {{A=5/6} \atop {B=-1/6}} \right.$

Общее частное решение имеет вид: $y^{-}= \frac{5}{6} \cos3x- \frac{1}{6} \sin3x$

Тогда общее решение неоднородного уравнения

$y=C_1e^{3x}+C_2e^{2x}+\frac{5}{6} \cos3x- \frac{1}{6} \sin3x$

Но нам нужно найти задачу Коши
начальное условие : $y(0)=2;\,\,\, y'(0)=2$

$y'=3C_1e^{3x}+2C_2e^{2x}- \frac{5}{2} \sin3x- \frac{1}{2} \cos 3x$

$\displaystyle \left \{ {{2=C_1+C_2+ \frac{5}{6} } \atop {2=3C_1+2C_2- \frac{1}{2} }} \right. \to \left \{ {{C_1= \frac{1}{6} } \atop {C_2=1}} \right.$

$\boxed{y=\frac{1}{6}e^{3x}+e^{2x}+\frac{5}{6} \cos3x- \frac{1}{6} \sin3x}$

аноним 14 Май, 18