№1 Фрекен Бок поставила по кругу 50 банок с вишнёвым компотом, причём количество вишенок...

Question

№1 Фрекен Бок поставила по кругу 50 банок с вишнёвым компотом, причём количество вишенок в любых двух соседних банках отличается ровно на 1. Карлсон, только увидев две банки с одинаковым числом вишенок, опустошает обе банки. Докажите, что он выпьет не меньше 32 банок.

№2 Докажите, что 2·2²+3·2³+...+n·2ⁿ=(n-1)·2ⁿ⁺¹.

№3 В четырёхугольнике ABCD на стороне AB отмечена точка F, причём известно, что AF=FC, BC=CD, AB=AD. Докажите, что FC║AD.

Comments

1)целое(50/3)*2=32 2) метод матем индукции или другой способ - производная от геометрической прогрессии с членом х^n при подстановке в конце х=2

---

Можете решить №3?

---

IUV, а почему в 1 задаче 50 делится на 3? И почему решение такое простое? Я-то сижу тут целый анализ разрабатываю, как вишенки по банкам распределяются

---

количество вишенок - число, числа расположены цепочкой, цепочка возрастает или убывает. каждое числов цепочке может встречаться 1 2 3 4 и более раз. только 2 числа могут не повторяться, все которых по 2, по 4, по 6 однозначно будут съедены все. если чисел всего 3 то из них съедят две, если 5 - из них съедят 4.

---

минимальное число съеденных (две из трех а не 4 из пяти) будет в случае если мы умудримся разложить вишенки по банкам так чтобы их количество бвло равно трем. тогда две из каждой тройки съедится. вот и все решение

Answer 1

   Для того, чтобы доказать параллельность FC и AD необходимо доказать равенство углов BAD и BFC.
  Треугольники АВС и ACD равны по трем сторонам (AB=BD, BC=CD, AC общая. Следовательно АС биссектриса угла BAD.
  Обозначим BAD - α.
  Треугольник AFC равнобедренный (AF=FC), угол А= углу С=α/2;
угол CFA=180-2(α/2)=180-α; 
   Угол BFC смежный с углом CFA и равен 180-(180-α)=α;
   BAD = BFC  ⇒ FC║AD ч.т.д.

---