Катеты прямоугольного треугольника = 16 и 30см. Вычислите расстояние от центра вписанного...

Найдём сначала гипотенузу данного прямоугольного треугольника.
Пусть катеты равны a и b, гипотенуза равна c, радиус вписанной окружности равен r, радиус описанной - R, расстояние между центрами окружностей равно d.
По теореме Пифагора:
$c= \sqrt{a^2 + b^2 } = \sqrt{16^2 + 30^2} = \sqrt{256 + 900} = \sqrt{1156} = 34$
Радиус описанной окружности около прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы (гипотенуза является диаметром этой окружности).
$R= \dfrac{c}{2} = \dfrac{34}{2} = 17$
Радиус вписанной окружности в прямоугольный треугольник можно найти по формуле:
$r = \dfrac{a + b - c }{2} = \dfrac{16 + 30 - 34}{2} = 6$ .
Расстояние между центрами вписанной и описанной окружностями находятся по формуле Эйлера:
$d = \sqrt{R^2 - 2Rr} = \sqrt{17^2 - 2 \cdot 17 \cdot 6} = \sqrt{289 - 204} = \sqrt{85}$