Решите :sin3x+sinx+2cosx=sin2x+2cos²x

$sin3x+sinx = 2 sin\frac{3x+x}{2} cos \frac{3x-x}{2} =2sin2xcosx$
$2sin2xcosx+2cosx = 2cos^2x+2sinxcosx$
$sin2xcosx+cosx=cos^2x+sinxcosx$
$cosx(sin2x+1) = cosx(cosx+sinx)|$
$cosx(sin2x+1)-cosx(cosx+sinx)=0$
$cosx((sin2x+1)-(cosx+sinx))=0$
$cosx=0; x = б\frac{ \pi }{2} +2 \pi n$
$((sin2x+1)-(cosx+sinx))=0$
$sin2x+1=cosx+sinx$
$sin^2x+2sinxcosx+cos^2x=sinx+cosx$
$(sinx+cosx)^2 = (sinx+cosx)$
$(sinx+cosx)^2-(sinx+cosx)=0$
$(sinx+cosx)(sinx+cosx-1)=0$

$sinx+cosx =0$
$sinx = -cosx |:cosx$
$tgx= -1$
$x = - \frac{ \pi }{4} + \pi n$

$sinx+cosx = 1$
$(sinx+cosx)^2=1^2$
$sin^2x+2cosxsinx+cos^2x=1$
$1+2sinxcosx=1$
$2sinxcosx=0$
$sinxcosx=0$
$sinx=0$
$x = 2 \pi n$
$cosx=0$
$x = б\frac{ \pi }{2} +2 \pi n$
т.к. уравнение $sinx+cosx = 1$ мы возводили к квадрат, то у нас могли появиться побочные корни.
корень $x = -\frac{ \pi }{2} +2 \pi n$ не является решением уравнения $sinx+cosx = 1$ , что проверяется подстановкой. (синус - нечетная функция, sin(-x)=-sinx, $-1+0 \neq 1$ )
корнем уравнения $sinx+cosx = 1$ является только:
$x = \frac{ \pi }{2} +2 \pi n$ .
*но корнем $cosx=0$ (см. 7 строку решения) является $x = б \frac{ \pi }{2} +2 \pi n$ , поэтому:
ответ: $x = 2 \pi n$
$x = б \frac{ \pi }{2} +2 \pi n$
$x = - \frac{ \pi }{4} + \pi n$