Дифференциальное ур-е

$y''+6y'+9=0$

Это дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами, однородное.

Перейдем к характеристическому уравнению. Пусть $y=e^{kx}$ , тогда будем получать

$k^2+6k+9=0\\ (k+3)^2=0\\ k_{1,2}=-3$

Тогда общее решение однородного уравнения:

$y=y_1+y_2=C_1e^{-3x}+xC_2e^{-3x}=e^{-3x}(C_1+xC_2)$