Найди площадь треугольника две стороны которого 3 и 4, а радиус вписанной окружности 1

Question

Найди площадь треугольника две стороны которого 3 и 4, а радиус вписанной окружности 1

Answer 1

Обозначим р-полупериметр треугольника, х - половина третьей стороны.
р=3,5+x
квадрат площади по формуле Герона:
(3,5+х)*(х-0,5)*(х+0,5)(3,5-х)
Площадь равна р*1(полупериметр *радиус). Приравняем квадрат площади. При этом можно сразу сократить на х+3,5 (нулю эта величина равной быть не может).
(х*х-0,25)*(3,5-х)=3,5+x
Сделаем замену
 у=х-2,5    х=у+2,5       
Получим
(у^2+5y+6)*(1-y)=6+y
y^2+5y+6=6+y+y^3+5y^2+6y
y^3+5y^2+7y=y^2+5y
Запомнив решение y=0 (х=2,5), поделим обе части на у
y+5=y^2+5y+7
  y^2+4y+2=0
   y^2+4y+4=2

Comments

А выкладки оставил, чтобы показать, как решать с другими числами. При случае, не просто.

---

Если угол между сторонами 3 и 5 больше 90, третья сторона увеличивается, периметр увеличивается, а площадь уменьшается. Поэтому r конечно уменьшается. НО: если угол меньше 90, третья сторона уменьшается, периметр уменьшается, площадь уменьшается. Почему r не может остаться 1?

---

Кстати, я проделал аналогичную выкладку (Вашу проверять нет сил - с такими то противными коэффициентами), взяв в качестве параметра котангенс половины угла между сторонами 3 и 4, и получил уравнение t^3-7t^2+13t-7=0; корни 1 и 3+-корень(2). Я, конечно, мог и ошибиться, но все же... хотелось бы видеть Вашу выкладку

---

я тоже мог ошибиться. Сейчас попробую воспроизвести и проверить.

---

Вы правы, а я был небрежен. Но изменения внес, а высветилась надпись: слишком поздно! Отметьте, пожалуйста нарушение! Тогда исправлю.

---

Все же, зная корень , нетрудно посмотреть нет ли еще.Пусть у=(х-2,5)
х=у+2,5 (y^2+5y+6)*(1-y)=6+y
y^2+5y+6=6+y+y^3+5y^2+6y y^2+4y+1=0 y^2+4y+4=3
(y+2)^2=3 y1=-2+sqrt(3) y2=-2-sqrt(3) x1=0,5+sqrt(3) x2=0,5-sqrt(3)
Оказывается есть еще один положительный корень х=0,5+sqrt(3)
И тогда площадь равна 4+sqrt(3)
Так что ответ: Два решения 6 и 4+sqrt(3)

---

Извините, писал , как мог подробно, а сам ответ написал с опечаткой там sqrt(2)

---

У меня такой же ответ. Кстати, мы оба стали, надеюсь, после этого неожиданного результата немного мудрее. Но чтобы достичь совершенства, нужно описку исправить. Готовы? Тогда шлю Вам на исправление

---

Да,спасибо!

---

И Вам спасибо!