С задания,Модуль "Геометрия". Точки M и N лежат ** стороне АС треугольника АВС **...

0 голосов
24 просмотров

С задания,Модуль "Геометрия".
Точки M и N лежат на стороне АС треугольника АВС на расстояниях соответственно 12 и 21 от вершины А.Найдите радиус окружности,проходящей через точки М и N касающейся луча АВ,если косинус угла ВАС= Корень из семи делить на 4.
P.s напишите как решить это задание.Буду благодарен!


Алгебра (25 баллов) | 24 просмотров
Дан 1 ответ
0 голосов
Правильный ответ

По теореме о касательной и секущей:
AE^2=AM*AN \\AE=\sqrt{AM*AN}=\sqrt{12*21}=\sqrt{252}=2\sqrt{63}=6\sqrt{7} \\
в треугольнике AEM найдем EM по теореме косинусов:
EM^2=AE^2+AM^2-2AE*AM*cos(BAC) \\EM^2=252+144-2*6\sqrt{7}*12* \frac{\sqrt{7}}{4} \\EM^2=396- \frac{2*12*7*6}{4}=396- 252=144 \\EM=12
Также в треугольнике AEN найдем сторону EN:
EN^2=AE^2+AN^2-2AE*AN*cos(BAC) \\EN^2=252+441-2*6\sqrt{7}*21* \frac{\sqrt{7}}{4} \\EN^2=693- \frac{2*7*21*6}{4}=693-441=252 \\EN=6\sqrt{7}
так как EN=AE, то треугольник AEN - равнобедренный, следовательно угол EAN равен углу ENA.
используя основное тригонометрическое тождество найдем sin ENA:
cos^2(ENA)+sin^2(ENA)=1 \\cos(ENA)=cos(EAN)= \frac{\sqrt{7}}{4} \\sin(ENA)=\sqrt{1-\frac{7}{16} }= \sqrt{ \frac{9}{16}} = \frac{3}{4}
по теореме синусов найдем радиус окружности:
2R= \frac{EM}{sin(ENA)} \\2R=12: \frac{3}{4} \\2R=16 \\R=8
Ответ: R=8


image
(149k баллов)