РЕШИТЕ ЛОГАРИФМИЧЕСКОЕ НЕРАВЕНСТВО!!!

Question

Дано ответов: 2

skvrttt_zn · Answer 1 · 2018-05-14T18:09:35+0000

ОГРАНИЧЕНИЯ: $\left\{{{1\neq1-log_3x\ \textgreater \ 0}\atop{1+log_x^23\ \textgreater \ 0}}\right\to\left\{{{log_3x\ \textless \ 0}\atop{1 \neq x\ \textgreater \ 0}}\right\to\left\{{{\left\{{{x\ \textgreater \ 0}\atop{x\ \textless \ 1}}\right}\atop{1 \neq x\ \textgreater \ 0}}\right \to x\in(0;1)$

ещё раз напишу неравенство, решение которого нам требуется найти:
$log_{1-log_3x}(1+log_x^23)\leq1$

заменим единицу логарифмом, показатель которого равен основанию стоящего слева логарифма, а также перенесём её к нему:
$log_{1-log_3x}(1+log_x^23)-log_{1-log_3x}(1-log_3x)\leq0$

напомню тебе, как выглядит метод рационализации:
$log_{a(x)}f(x)-log_{a(x)}g(x)=(a(x)-1)[f(x)-g(x)],\left\{{{\left\{{{f(x)\ \textgreater \ 0}\atop{g(x)\ \textgreater \ 0}}\right}\atop{\left\{{{a(x)\ \textgreater \ 0}\atop{a(x)\neq1}}\right}}\right$

так, используя его, мы получаем:
$(1-log_3x-1)(1+log_x^23-(1-log_3x))\leq0$

немного преобразовываем наши скобки и получаем, что $log_3x(log_x^23+log_3x)\geq0$

опять юзаем метод рационализации, только уже немного по-другому:
$(3-1)(x-1)([(x-1)(3-1)]^2+(3-1)(x-1))\geq0$

упрощаем:
$(x-1)(2x^2-3x+1)\geq0$ всё то же самое, что $(x-1)(x-1)(2x-1)\geq0$ и то же, что и $(x-1)^2(x-\frac{1}{2})\geq0$

знаки:
$---[\frac{1}{2}]+++[1]+++$ , следовательно, $x\in[\frac{1}{2};+\infty)$

пересекаем с ограничениями, выведенными ещё в самом начале, и получаем ответ: $x\in[\frac{1}{2};1)$