Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y=-x^2+3 и y=2x. помогите пожалуйста. у...

$y=-x^2+3$ - парабола, ветви которого направлены вниз
$y=2x$ - прямая, которая проходит через точку начала координат

Найдем точки пересечения графиков функций
$-x^2+3=2x\\ -x^2-2x+3=0|\cdot(-1)\\ x^2+2x-3=0$

По т. Виета:
$\displaystyle \left \{ {{x_1\cdot x_2=-3} \atop {x_1+x_2=-2}} \right.$
Произведение корней - отрицательное число, значит корни уравнения имеют разные знаки. Так как сумма корней отрицательное число, то больший по модулю корень является отрицательным числом. Это пары чисел $(-3;1)$ и $(1;-3)$ . Из перечисленных пар уравнению удовлетворяет пара (1;-3).
Значит: $x_1=1;\,\,\,\, x_2=-3$

Поскольку график $y=-x^2+3$ расположен выше чем прямая $y=2x$ , то площадь будем искать в следующем виде:

$\displaystyle \int\limits^a_b {(f(x)-g(x))} \, dx = \int\limits^1_{-3} {(-x^2+3-2x)} \, dx =\\ \\ \\ =\bigg(- \frac{x^3}{3} -x^2+3x\bigg)\bigg|^1_{-3}=- \frac{1}{3} -1+3-\frac{3^3}{3}+9+9= \frac{32}{3}$