Cos 2x + cos квадрат x + 2 cos x = 0

$\cos 2x+\cos^2x+2\cos x=0\\ \\ 2\cos^2x-1+\cos^2x+2\cos x=0\\ \\ 3\cos^2x+2\cos x-1=0$

Представим левую часть уравнения в следующем виде

$3\cos^2x+3\cos x-\cos x-1=0$

Выносим за скобки общий множитель

$3\cos x(\cos x+1)-(\cos x+1)=0\\ \\ (\cos x+1)(3\cos x-1)=0\\ \\ \left[\begin{array}{ccc}\cos x+1=0\\ 3\cos x-1=0\end{array}\right\Rightarrow\,\,\,\,\, \left[\begin{array}{ccc}x= \pi +2 \pi n,n \in Z\\ x=\pm\arccos \frac{1}{3} +2 \pi n,n \in Z\end{array}\right$