Сколько натуральных чисел из первой 1000 не делится 2, ни 3, ни 5, ни 7?

Question

Дан 1 ответ

Правильный ответ

Посчитаем сначала количество чисел , которые делятся по крайней мере на одно из чисел 2, 3, 5, 7.

Пусть $A_1$ - множество тех чисел, которые делятся на 2, $A_2$ - множество тех чисел, которые делятся на 3, $A_3$ - множество тех чисел, которые делятся на 5, $A_4$ - множество тех чисел, которые делятся на 7

Тогда

$N(A_1)=\displaystyle \bigg[ \frac{1000}{2} \bigg]=500;\\ \\ \\ N(A_2)=\bigg[ \frac{1000}{3} \bigg]=333;\\\\\\ N(A_3)=\bigg[ \frac{1000}{5} \bigg]=200;\\ \\ \\ N(A_4)=\bigg[ \frac{1000}{7}\bigg]= 142\\ \\ \\ N(A_1\cap A_2)=\bigg[ \frac{1000}{2\cdot3} \bigg]=166\\ \\ \\ N(A_1\cap A_3)=\bigg[ \frac{1000}{2\cdot5}\bigg]=100\\ \\ \\ N(A_2\cap A_3)=\bigg[ \frac{1000}{3\cdot5}\bigg]=66\\ \\ \\ N(A_1\cap A_4)=\bigg[ \frac{1000}{2\cdot7}\bigg]=71\\ \\ \\ N(A_2\cap A_4)=\bigg[ \frac{1000}{3\cdot7}\bigg]=47$

$\displaystyle N(A_3\cap A_4)=\bigg[ \frac{1000}{5\cdot7}\bigg]=28$

$\displaystyle N(A_1\cap A_2\cap A_3\cap A_4)=\bigg[ \frac{1000}{2\cdot 3\cdot 5\cdot 7}\bigg]=4$

$\displaystyle N(A_1\cap A_2\cap A_3)=\bigg[ \frac{1000}{2\cdot 3\cdot 5}\bigg]=33\\ \\ \\ N(A_1\cap A_2\cap A_4)=\bigg[ \frac{1000}{2\cdot 3\cdot 7}\bigg]=23\\ \\ \\ N(A_1\cap A_3\cap A_4)=\bigg[ \frac{1000}{2\cdot 5\cdot 7}\bigg]=14\\ \\ \\ N(A_2\cap A_3\cap A_4)=\bigg[ \frac{1000}{3\cdot 5\cdot7}\bigg]=9$

Имеем

$N(A_1\cup A_2\cup A_3\cup A_4)=500+333+200+142-\\\\ \\ -(166+100+66+71+47+28)+33+23+14+9+4=780$

Количество чисел, которые не делятся на 2, на 3, на 5, на 7 равен $1000-780=220$