При каких значениях параметра a уравнение
- x⁴ +8x² -9 = a имеет два корня ?
--------------------
решение :
замена : t =x² ⇒ x⁴ =(x²)² = t² * * * x =± √t * * *
уравнение принимает вид
- t² +8t -9 = a ;
t² - 8t +9 + a =0 ;
Если данное квадратное уравнение имеет один (двукратный ) положительный корень или два корня разных знаков , то исходное уравнение будет иметь два корня.
а)
D = 0 * * * сумма (равных) корней = 8 > 0 * * *
D = 8² - 4*1*(9+a) = 4(4² -9 - a) = 4(7 -a) * * * 4² -9 -a =(7-a) = D/4 * * *
4(7 -a)=0 ;
a =7. * * * (t - 4)² = 0; t =4 ; x = ±√t = ±√4 = ±2 * * *
--------------
б)
D > 0 и 9+a < 0 * * * или <strong>D/4 > 0 и 9+a < 0</strong> * * *
(т.е. система неравенств )
{ 4(7 -a) >0 ; 9+ a < 0 . ⇔<strong> { 7 - a > 0 ; 9+ a < 0 </strong>.⇔ { a < 7 ; a < - 9 . ⇒
a < - 9 или иначе a ∈
( - ∞ ; - 9) .
ответ : a ∈( - ∞ ; -9) U { 7 } .
---------------
Удачи Вам !