8. Последовательность (ап) – арифметическая прогрессия. Найдите сумму двадцати членов...

$a_n=a_1+(n-1)d$ - n-ый член арифметической прогрессии
Воспользуемся этой формулой
$a_1+a_4+a_7=45\\ a_1+a_1+3d+a_1+6d=45\\ 3a_1+9d=45\\ \\ a_4\cdot a_6=315\\ (a_1+3d)\cdot(a_1+5d)=315$
Решая систему уравнений
$\displaystyle \left \{ {{3a_1+9d=45\,\,\,\, |:3} \atop {(a_1+3d)(a_1+5d)=315}} \right. \Rightarrow \left \{ {{a_1+3d=15} \atop {(a_1+3d)\cdot(a_1+3d+2d)=315}} \right. \\ \\ 15\cdot(15+2d)=315|:15\\ 15+2d=21\\ 2d=6\\ d=3\\ \\ a_1=15-3d=15-3\cdot3=15-9=6$

Сумма первых n членов арифметической прогрессии вычисляется следующим образом
$S_n= \dfrac{2a_1+(n-1)d}{2}\cdot n$
Тогда сумма первых двадцати членов этой прогрессии:
$S_{20}= \dfrac{2a_1+19d}{2}\cdot20=10\cdot(2a_1+19d)=10\cdot(2\cdot6+19\cdot3)= 690$

Ответ: $690.$