1) Найдите корень уравнения: x=-2x-27/x-14. Если уравнение имеет более одного корня, то в...

Question

1) Найдите корень уравнения: x=-2x-27/x-14. Если уравнение имеет более одного корня, то в ответе укажите больший из них. 2) решите уравнение: √3x^2+12x+1=x+3 3) найдите наибольшее значение функции: y=2x^2 на отрезке [0;2] 4) решите уравнение 2 sin^2x-cosx-1=0. Укажите корни, принадлежащие отрезку [3π;4π] 5) решите уравнение методом введения новой переменной: 2*4^x+1-2^x+1-1=0

Answer 1

1) x = (-2x-27)/(x-14)
x + (2x+27)/(x-14) = 0
(x^2 - 14x + 2x + 27)/(x-14) = 0
x^2 - 12x + 27 = 0
(x - 3)(x - 9) = 0
x1 = 3; x2 = 9
Ответ: 9

2) √(3x^2+12x+1) = x+3
3x^2 + 12x + 1 = (x+3)^2 = x^2 + 6x + 9
2x^2 + 6x - 8 = 2(x^2 + 3x - 4) = 0
2(x + 4)(x - 1) = 0
Ответ: x1 = -4; x2 = 1

3) y = 2x^2
Эта функция имеет вершину (минимум) в точке x = 0.
Она возрастает при x > 0
Минимальное значение этой функции y(0) = 0
Максимальное значение y(2) = 2*2^2 = 2*4 = 8
Ответ: 8

4) 2sin^2 x - cos x - 1 = 0
2 - 2cos^2 x - cos x - 1 = 0
-2cos^2 x - cos x + 1 = 0
Делим все на -1 и делаем замену cos x = y
2y^2 + y - 1 = 0
(y + 1)(2y - 1) = 0
y1 = cos x = -1; x1 = pi + 2pi*n
y2 = cos x = 1/2; x2 = +-pi/3 + 2pi*k
Корни на отрезке [3pi; 4pi]
Ответ: x1 = 3pi; x2 = 4pi - pi/3 = 11pi/3

5) 2*4^(x+1) - 2^(x+1) - 1 = 0
2*4*4^x - 2*2^x - 1 = 0
Замена 2^x = y > 0 при любом x, тогда 4^x = y^2
8y^2 - 2y - 1 = 0
(2y - 1)(4y + 1) = 0
y1 = 2^x = -1/4 < 0 - не подходит
y2 = 2^x = 1/2 = 2^(-1)
Ответ: x = -1