Y'' - 2y' + y = 0
a) y = x*e^x; y' = e^x + x*e^x = e^x*(x+1); y'' = e^x + (x+1)*e^x = e^x*(x+2)
Подставляем все функции в уравнение
e^x*(x+2) - 2e^x*(x+1) + x*e^x = e^x*(x+2-2x-2+x) = e^x*0 = 0
Да, это решение.
b) y = x^2*e^x; y' = 2x*e^x + x^2*e^x = e^x*(x^2+2x)
y'' = (2x+2)*e^x + e^x*(x^2+2x) = e^x*(x^2+4x+2)
Подставляем все функции в уравнение
e^x*(x^2+4x+2) - 2e^x*(x^2+2x) + x^2*e^x = e^x*(x^2+4x+2-2x^2-4x+x^2) =
= 2e^x ≠ 0
Нет, это не решение