Xy' + y - e^x = 0; y(a) = b
Сначала решаем неоднородное уравнение 1 порядка.
Замена y(x) = u(x)*v(x); тогда y'(x) = u'(x)*v(x) + u(x)*v'(x)
x*(u'*v + u*v') + u*v - e^x = 0
x*v*u' + u*(x*v' + v) - e^x = 0
Приравняем скобку к 0
x*v' + v = 0
v' = dv/dx = -v/x
dv/v = -dx/x
ln v = -ln|x| = ln|1/x|
v = 1/x
Получаем уравнение
x*v*u' + u*0 = e^x
x*1/x*u' = e^x
u' = e^x
u = e^x + C
y(x) = u(x)*v(x) = (e^x + C)/x
Теперь решаем задачу Коши. Подставляем y(a) = b и находим С
b = (e^a + C)/a
C + e^a = ab
C = ab - e^a
y(x) = (e^x + ab - e^a)/x