Y = x*(1 + y') + (y')^2
Уравнение Лагранжа в общем виде выглядит так:
y = x*φ(y') + ψ(y')
Замена p = y' = dy/dx
Здесь φ(p) = 1 + p; φ'(p) = 1; ψ(p) = p^2; ψ'(p) = 2p
Общее решение уравнения можно записать так:
dx/dp - x*φ'(p)/(p - φ(p)) = ψ'(p)/(p - φ(p))
В нашем случае
dx/dp - x*1/(p - 1 - p) = 2p/(p - 1 - p)
dx/dp - x/(-1) = 2p/(-1)
dx/dp + x = -2p
Это неоднородное уравнение, в котором x считается функцией от p.
x = u*v; dx/dp = u'*v + u*v'
u'*v + u*v' + u*v + 2p = 0
u'*v + u(v' + v) + 2p = 0
v' + v = 0; dv/dp = -v; dv = -v dp; v(p) = -p^2/2
u'*(-p^2)/2 + 2p = 0
du/dp*p^2 = 4p
du/dp = 4/p
u(p) = 4ln|p| + ln C = ln(C*p^4)
x = u(p)*v(p) = -ln(C*p^4)*p^2/2
Теперь нужно как-то выразить наоборот, p как функцию от x.
Здесь я не знаю, как это сделать.
Потом надо функции φ(p) и ψ(p) тоже выразить через x.
И, наконец, подставляем все это в 1 уравнение
y = x*φ(p) + ψ(p)
Получаем какое-то уравнение F(x, y, C) = 0
Это и есть решение.