Неоднородное уравнение 2 порядка
Сначала решаем однородное
y'' - 2y' + y = 0
Характеристическое уравнение
k^2 - 2k + 1 = (k - 1)^2 = 0
k1 = k2 = 1
Общее решение однородного уравнения
y = (C1+C2*x)*e^x = C1*e^x + C2*x*e^x
Теперь находим частное решение неоднородного уравнения методом вариации произвольных постоянных.
y0 = C1(x)*e^x + C2(x)*x*e^x = C1(x)*y1 + C2(x)*y2
Обозначим C1 и C2 как функции C1(x) и C2(x). Решаем систему
{ C1'(x)*y1 + C2'(x)*y2 = 0
{ C1'(x)*(y1)' + C2'(x)*(y2)' = e^x/x
В нашем случае
(y1)' = (e^x)' = e^x; (y2)' = (x*e^x)' = e^x + x*e^x = e^x*(x+1)
{ C1'(x)*e^x + C2'(x)*e^x*x = 0
{ C1'(x)*e^x + C2'(x)*e^x*(x+1) = e^x/x
Подставляем 1 уравнение во 2 уравнение
{ C1'(x) = -C2'(x)*e^x*x/e^x = -C2'(x)*x
{ -C2'(x)*x*e^x + C2'(x)*e^x*(x+1) = e^x/x
C2'(x)*(-x*e^x + x*e^x + e^x) = e^x/x
C2'(x)*e^x = e^x/x
C2'(x) = 1/x; C2(x) = ln |x|
C1'(x) = -C2'(x)*x = -1/x*x = -1; C1(x) = -x
Подставляем в уравнение
y = (C1+C2*x)*e^x = (-x + x*ln |x|)*e^x