Замена cos (2x/3) = t, тогда sin^2 (2x/3) = 1 - cos^2 (2x/3) = 1 - t^2
sin^4 (2x/3) = (1 - t^2)^2 = t^4 - 2t^2 + 1
Подставляем
t^4 - 2t^2 + 1 + t = 5/8
t^4 - 2t^2 + t + 3/8 = 0
8t^4 - 16t^2 + 8t + 3 = 0
Это уравнение непонятно, как решать, можно подобрать корни.
Найдем производную этой функции и получим экстремумы:
y ' = 32t^3 - 32t + 8 = 8(4t^3 - 4t + 1) = 0
Это опять непонятно как решать, Вольфрам Альфа показывает 3 корня:
t1 ≈ -1,1072; t2 ≈ 0,2696; t3 ≈ 0,8376
Подставим эти корни в исходную функцию:
y(t1) = 8(-1,1072)^4 - 16(-1,1072)^2 + 8(-1,1072) + 3 ≈ -13,45 < 0 - min
y(t2) = 8(0,2696)^4 - 16(0,2696)^2 + 8(0,2696) + 3 ≈ 4,036 > 0 - max
y(t3) = 8(0,8376)^4 - 16(0,8376)^2 + 8(0,8376) + 3 ≈ 2,41 > 0 - min
В точке t3 минимум положительный, значит, при t > 0 корней нет.
При t < 0 будет 2 корня
y(0) = 3 > 0
y(-1) = 8 - 16 - 8 + 3 = -13 < 0
y(-2) = 8*16 - 16*4 + 8(-2) + 3 = 128 - 64 - 16 + 3 = 51 > 0
t1 = cos (2x/3) ∈ (-2; -1) < -1 - не подходит
t2 = cos (2x/3) ∈ (-1; 0) - подходит, можно уточнить
y(-0,2) = 8(-0,2)^4 - 16(-0,2)^2 + 8(-0,2) + 3 = 0,7728 > 0
y(-0,3) = 8(-0,3)^4 - 16(-0,3)^2 + 8(-0,3) + 3 = -0,7752 < 0
y(-0,25) = 8(-0,25)^4 - 16(-0,25)^2 + 8(-0,25) + 3 = 0,03125 ≈ 0
t = cos (2x/3) ≈ -0,25
2x/3 = +-arccos(-0,25) + 2pi*k
x ≈ +-1,5*arccos(-0,25) + 3pi*k