Вычислите интеграл

Question 1

Вычислите интеграл

$\int\limits^ \frac{ \pi }{2} _ {0} \, \frac{cosdx}{2sinx+1}$

Question 2

Заметим, что подынтегральная функция нигде в промежутке $[0,\frac{\pi}{2}]$ не обращается в бесконечность. То есть подынтегральная функция интегрируема по Риману в данном промежутке.

$\cos x\,dx=d(\sin x)$

$\int_0^\frac{\pi}{2}\frac{\cos x\,dx}{2\sin x+1}=\int_0^\frac{\pi}{2}\frac{d\sin x}{2\sin x+1}=$

$=\int_0^\frac{\pi}{2}\frac{\frac{1}{2}d(2\sin x)}{2\sin x+1}=\frac{1}{2}\int_0^\frac{\pi}{2}\frac{d(2\sin x)}{2\sin x+1}=\frac{1}{2}\int_0^\frac{\pi}{2}\frac{d(2\sin x+1)}{2\sin x+1}=$

Можно заметить, что подынтегральная функция теперь имеет вид:
$\int\frac{dt}{t}=\ln|t|$
Получается, что
$=\frac{1}{2}\ln(2\sin x+1)|_0^\frac{\pi}{2}=\frac{1}{2}(\ln|2\sin\frac{\pi}{2}+1|-\ln|2\sin 0+1|)=$

$=\frac{1}{2}(\ln|3|-\ln|1|)=\frac{\ln 3}{2}$

Ответ: $\frac{\ln 3}{2}$

bearcab_zn · Answer 1 · 2018-03-14T05:02:08+0000

Заметим, что подынтегральная функция нигде в промежутке $[0,\frac{\pi}{2}]$ не обращается в бесконечность. То есть подынтегральная функция интегрируема по Риману в данном промежутке.

$\cos x\,dx=d(\sin x)$

$\int_0^\frac{\pi}{2}\frac{\cos x\,dx}{2\sin x+1}=\int_0^\frac{\pi}{2}\frac{d\sin x}{2\sin x+1}=$

$=\int_0^\frac{\pi}{2}\frac{\frac{1}{2}d(2\sin x)}{2\sin x+1}=\frac{1}{2}\int_0^\frac{\pi}{2}\frac{d(2\sin x)}{2\sin x+1}=\frac{1}{2}\int_0^\frac{\pi}{2}\frac{d(2\sin x+1)}{2\sin x+1}=$

Можно заметить, что подынтегральная функция теперь имеет вид:
$\int\frac{dt}{t}=\ln|t|$
Получается, что
$=\frac{1}{2}\ln(2\sin x+1)|_0^\frac{\pi}{2}=\frac{1}{2}(\ln|2\sin\frac{\pi}{2}+1|-\ln|2\sin 0+1|)=$

$=\frac{1}{2}(\ln|3|-\ln|1|)=\frac{\ln 3}{2}$

Ответ: $\frac{\ln 3}{2}$