Найдите длины сторон прямоугольника с периметром 20 см, имеющего наименьшую диагональ.

1) Представим периметр в таком виде:
$P=2(x+(10-x))$ , где x — первая сторона, 10-x — вторая сторона.

2) Найдём диагональ d по теореме Пифагора:
$d= \sqrt{x^2+(10-x)^2} =\sqrt{2x^2-20x+100}$

3) Составим функцию длины этой диагонали и через производную найдём её экстремум:

$f(x)=\sqrt{2x^2-20x+100}\\ f'(x)= \frac{4x-20}{2\sqrt{2x^2-20x+100}} = \frac{2x-10}{\sqrt{2x^2-20x+100}}$

Дискриминант подкоренного многочлена больше нуля — значит там корней нет. Следовательно, функция обнуляется только в одной точке: x=5.

4) Методом интервалов доказываем, что f(5) — точка минимума (а не максимума, если вдруг).

5) Найдём вторую сторону: $10-5=5$ . Следовательно, наименьшую диагональ имеет квадрат :) Длина этой диагонали равна $5 \sqrt{2}.$

Ответ: 5 см и 5 см (квадрат).