Найдите все корни уравнения или докажите что их нет x^4+2x^3-3x^2+2x+1=0

X⁴ + 2x³ - 3x² + 2x + 1 = 0
Перед нами возвратное уравнение.
Разделим его на x² (x ≠ 0):
x² + 2x - 3 + 2/x + 1/x² = 0
x² + 1/x² + 2(1/x + x) - 3 = 0
x² + 2 + 1/x² + 2(1/x + x) - 5 = 0
(x + 1/x)² + 2(1/x + x) - 5 = 0
Пусть t = (x + 1/x).
t² + 2t - 5 = 0
D = 4 + 5·4 = 24 = (2√6)²
$t_1 = \dfrac{-2 + 2 \sqrt{6} }{2} = \sqrt{6} - 1 \\ \\ t_2 = \dfrac{-2 - 2 \sqrt{6} }{2} = -\sqrt{6} - 1$
Обратная замена:
$1)\ x + \dfrac{1}{x} = -\sqrt{6} - 1 \\ \\ x^2 + (\sqrt{6} +1)x + 1 = 0 \\ D = ( \sqrt{6} +1)^2 - 4 = 6 + 2 \sqrt{6} + 1 - 4 = 3 + 2 \sqrt{6} \\ \\ x_1 = \dfrac{- \sqrt{6} - 1 + \sqrt{3 + 2 \sqrt{6} } }{2} \\ \\ x_2 = \dfrac{- \sqrt{6} - 1 - \sqrt{3 + 2 \sqrt{6} } }{2}$
$2) \ x + \dfrac{1}{x} = \sqrt{6} - 1 \\ \\ x^2- ( \sqrt{6} - 1)x + 1 = 0 \\ D = ( \sqrt{6} - 1)^2 - 4 = 6 + 2 \sqrt{6} + 1 - 4 = 3 - 2 \sqrt{6} \\ \\ D \ \textless \ 0$
Ответ: $\dfrac{- \sqrt{6} - 1 - \sqrt{3 + 2 \sqrt{6} } }{2}; \ \dfrac{- \sqrt{6} - 1 + \sqrt{3 + 2 \sqrt{6} } }{2}.$