Решить уравнение
1.
2sin²(π -x) +5sin(1,5π +x) =2 ;
Формулы приведения :sin(π -α) =sinα ; sin(1,5π +α) = sin(3π/2 +α) = -cosα
2sin²x - 5cosx -2 =0 ;
-2(1-sin²x) - 5cosx =0 ;
-2cos²x -5cosx =0 ;
-2cosx(cosx + 5/2) =0 ;
a)
cosx =0 ;
x = π/2 +π*n , n ∈Z .
b)
cosx + 5/2 =0
cosx = - 5/2 < 0 не имеет корней
ответ : π/2 +π*n , n ∈Z .
=======================
2.
| tqx +ctqx| = 4/√ 3 ;
| tqx +1/ tqx| = 4/√ 3
a)
если tqx > 0 , то | tqx +1/ tqx| = tqx +1/ tqx
tqx +1/tqx = 4/√3 ;
(√3)tq²x -4tqx +√3 =0 ; замена: tqx =t
(√3)t² -4t +√3 =0 D/4 = (2)² -√3 *√3 =4 -3 =1² ;
t₁
=(2 + 1)/√3=√3 ⇒ tqx₁ =√3 ⇔ x₁ = π/3 + π*n , n ∈Z.
t₂
=(2 - 1)/√3 =1/√3 ⇒tqx₂ =1/√3 ⇔ x₂ = π/6 + π*n , n ∈Z.
b)
если tqx < 0 , то <span> | tqx +1/ tqx| = - ( tqx +1/ tqx)
- ( tqx +1/ tqx) = 4/√3 ;
tqx +1/ tqx = - 4/√3 ;
(√3)tq²x + 4tqx +√3 =0 ; замена: tqx =t
(√3)t² +4t +√3 =0 D/4 = (2)² -√3 *√3 =4 -3 =1²
t₃
=(-2 - 1)/√3= -√3 не случайно t₃ = - t₁ и t₄ = - t₂
tqx₃ = - √3 ⇔ x₃ = - π/3 + π*n , n ∈Z;.
t₄ =(-2 + 1)/√3 = - 1/√3
tqx₄ =-1/ √3 ⇔ x₄ = - π/6 + π*n , n ∈Z .
( не случайно получились t₃ = - t₁ и t₄ = - t₂ ;
уравнения ax² - bx +c=0 и ax²+bx +c=0 имеют противоположные корни)
ответ: ± π/3 + π*n ; ± π/6 + π*n , n ∈Z.
---------------------------------
Второй способ (сравнительно лучший)
преобразование tqx +ctqx
tqx +ctqx = tqx +1/tqx =(1 +tq²x) / tqx = (1 +tq²x)*cos²x / (tqx*cos²x) =
cos²x+sin²x) / sinx*cosx =1/sinx*cosx = 2/2sinx*cosx = 2/ sin2x .
|2/ sin2x | = 4 /√3 ;
2 / sin2x = ± 4 /√3 ;
sin2x = ± 2*(√3) / 4 = ± (√3) / 2
cos2x = ± 1/2
а)
cos2x = -1 / 2 ⇒ 2x = ±( π-π/3)+ 2π*n , n ∈ Z
x = ± π/3 + π*n , n ∈ Z
б)
cos2x = 1 / 2 ⇒ 2x = ± π/3+ 2π*n , n ∈ Z
x = ± π/6+ π*n , n ∈ Z .
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
Удачи Вам !