Помогите 7,8,9 пожалуйста)

Question 1

Question 2

8) преобразуем произведение в сумму (разность) по формуле:
$sina*sinb= \frac{1}{2}(cos(a-b)-cos(a+b))$

выносим константу 1/2 за знак интеграла и берем его от каждого косинуса по отдельности:

$\int\limits \, (sin4xsin3x)dx = \int\limits \, \frac{1}{2}(cosx-cos7x) dx= \\ \\ = \frac{1}{2}( \int\limits \,cosx dx - \int\limits \,cos7x dx )= \frac{1}{2} (sinx- \frac{1}{7} sin7x)+C$

9) Применяем основную тригонометрическую подстановку:

$tg \frac{x}{2} =t \\ \\ sinx= \frac{2t}{1+t^2} \\cosx= \frac{1-t^2}{1+t^2}\\ dx= \frac{2dt}{1+t^2}$

$\int\limits \, \frac{1}{5+2* \frac{2t}{1+t^2}+4* \frac{1-t^2}{1+t^2} } * \frac{2dt}{1+t^2} = \int\limits \, \frac{2dt}{5(1+t^2)+2*2t+4*(1-t^2)} = \int\limits \, \frac{2dt}{5+5t^2+4t+4-4t^2} \\ \\ = \int\limits \, \frac{2dt}{t^2+4t+9} =2 \int\limits \, \frac{1}{t^2+4t+4-4+9} dt=2 \int\limits \, \frac{1}{(t+2)^2+5} d(t+2)=\\ \\ 2 * \frac{1}{ \sqrt{5} } arctg \frac{t+2}{ \sqrt{5} } +C= \frac{2}{ \sqrt{5} } arctg \frac{tg \frac{x}{2} +2}{ \sqrt{5} } +C=$

10) замена:
$x= \frac{5}{cost} \\ dx= \frac{5sint}{cos^2t} dt= \frac{5tgt}{cost}dt$

$\int\limits{ \frac{1}{ \sqrt{ (\frac{25}{cos^2t}-25)^3} } } } \, * \frac{5tgt}{cost}dt= \int\limits{ \frac{1}{( \sqrt{ (\frac{25}{cos^2t}-25)}) ^3} } } \, * \frac{5tgt}{cost}dt= \\ \\ =\int\limits{ \frac{1}{( \sqrt{25 (\frac{1}{cos^2t}-1)}) ^3} } } \, * \frac{5tgt}{cost}dt=\int\limits{ \frac{1}{( 5\sqrt{ (tg^2t)}) ^3} } \, * \frac{5tgt}{cost}dt= \\ \\ \int\limits{ \frac{1}{ (5tgt) ^3} } } \, * \frac{5tgt}{cost}dt=$

$\int\limits{ \frac{1}{ 125tg^3t} } } \, * \frac{5tgt}{cost}dt= \int\limits{ \frac{1}{ 25tg^2tcost} } } \, dt= \frac{1}{25} \int\limits{ \frac{1}{ \frac{sin^2t}{cos^2}cost } } } \, dt= \frac{1}{25} \int\limits{ \frac{cost}{ sin^2t} } } \, dt= \\ \\= \frac{1}{25} \int\limits{ \frac{1}{ sin^2t} } } \, d(sint)= \frac{1}{25} \int\limits{sin^{-2}t } } \, d(sint)= \frac{1}{25}* \frac{sin^{-1}t}{-1}+C= -\frac{1}{25sint}+\\ \\ +C$

Теперь осталось выполнить обратную замену:

$x= \frac{5}{cost} \ \ =\ \textgreater \ \ \ cost= \frac{5}{x} \ \ \\ \\ sint= \sqrt{1-cos^2t}= \sqrt{1- \frac{25}{x^2} } = \sqrt{\frac{x^2-25}{x^2} }=\frac{ \sqrt{x^2-25}}{x} }$

$- \frac{1}{25*\frac{ \sqrt{x^2-25}}{x} }} +C=- \frac{x}{25 \sqrt{x^2-25}}+C$

Alexandr130398_zn · Answer 1 · 2018-05-15T05:37:55+0000

8) преобразуем произведение в сумму (разность) по формуле:
$sina*sinb= \frac{1}{2}(cos(a-b)-cos(a+b))$

выносим константу 1/2 за знак интеграла и берем его от каждого косинуса по отдельности:

$\int\limits \, (sin4xsin3x)dx = \int\limits \, \frac{1}{2}(cosx-cos7x) dx= \\ \\ = \frac{1}{2}( \int\limits \,cosx dx - \int\limits \,cos7x dx )= \frac{1}{2} (sinx- \frac{1}{7} sin7x)+C$

9) Применяем основную тригонометрическую подстановку:

$tg \frac{x}{2} =t \\ \\ sinx= \frac{2t}{1+t^2} \\cosx= \frac{1-t^2}{1+t^2}\\ dx= \frac{2dt}{1+t^2}$

$\int\limits \, \frac{1}{5+2* \frac{2t}{1+t^2}+4* \frac{1-t^2}{1+t^2} } * \frac{2dt}{1+t^2} = \int\limits \, \frac{2dt}{5(1+t^2)+2*2t+4*(1-t^2)} = \int\limits \, \frac{2dt}{5+5t^2+4t+4-4t^2} \\ \\ = \int\limits \, \frac{2dt}{t^2+4t+9} =2 \int\limits \, \frac{1}{t^2+4t+4-4+9} dt=2 \int\limits \, \frac{1}{(t+2)^2+5} d(t+2)=\\ \\ 2 * \frac{1}{ \sqrt{5} } arctg \frac{t+2}{ \sqrt{5} } +C= \frac{2}{ \sqrt{5} } arctg \frac{tg \frac{x}{2} +2}{ \sqrt{5} } +C=$

10) замена:
$x= \frac{5}{cost} \\ dx= \frac{5sint}{cos^2t} dt= \frac{5tgt}{cost}dt$

$\int\limits{ \frac{1}{ \sqrt{ (\frac{25}{cos^2t}-25)^3} } } } \, * \frac{5tgt}{cost}dt= \int\limits{ \frac{1}{( \sqrt{ (\frac{25}{cos^2t}-25)}) ^3} } } \, * \frac{5tgt}{cost}dt= \\ \\ =\int\limits{ \frac{1}{( \sqrt{25 (\frac{1}{cos^2t}-1)}) ^3} } } \, * \frac{5tgt}{cost}dt=\int\limits{ \frac{1}{( 5\sqrt{ (tg^2t)}) ^3} } \, * \frac{5tgt}{cost}dt= \\ \\ \int\limits{ \frac{1}{ (5tgt) ^3} } } \, * \frac{5tgt}{cost}dt=$

$\int\limits{ \frac{1}{ 125tg^3t} } } \, * \frac{5tgt}{cost}dt= \int\limits{ \frac{1}{ 25tg^2tcost} } } \, dt= \frac{1}{25} \int\limits{ \frac{1}{ \frac{sin^2t}{cos^2}cost } } } \, dt= \frac{1}{25} \int\limits{ \frac{cost}{ sin^2t} } } \, dt= \\ \\= \frac{1}{25} \int\limits{ \frac{1}{ sin^2t} } } \, d(sint)= \frac{1}{25} \int\limits{sin^{-2}t } } \, d(sint)= \frac{1}{25}* \frac{sin^{-1}t}{-1}+C= -\frac{1}{25sint}+\\ \\ +C$

Теперь осталось выполнить обратную замену:

$x= \frac{5}{cost} \ \ =\ \textgreater \ \ \ cost= \frac{5}{x} \ \ \\ \\ sint= \sqrt{1-cos^2t}= \sqrt{1- \frac{25}{x^2} } = \sqrt{\frac{x^2-25}{x^2} }=\frac{ \sqrt{x^2-25}}{x} }$

$- \frac{1}{25*\frac{ \sqrt{x^2-25}}{x} }} +C=- \frac{x}{25 \sqrt{x^2-25}}+C$