Найти область определения функции (11 класс, средняя сложность):

Question

Дано ответов: 2

Правильный ответ

$y=lg(1,25^{1-x^2}-0,4096^{1+x})$

необходимо потребовать, чтобы выражение $1,25^{1-x^2}-0,4096^{1+x}$ было положительно, поскольку стоит в показателе логарифма, а показатель логарифма, будь то линейный, десятичный, в любом случае должен быть положителен:

$1,25^{1-x^2}-0,4096^{1+x}\ \textgreater \ 0$ , значит, $1,25^{1-x^2}\ \textgreater \ 0,4096^{1+x}$

$1,25=\frac{5}{4}$ — с этим, думаю, всё понятно и проблем не возникает, а вот второе число... внимательно смотрим на него и замечаем, что это точный квадрат числа $0,64$ , являющегося в то же время точным квадратом восьми десятых; получается, что $0,4096$ — это $(0,8^2)^2$ , то есть $0,8^4$ или, вставшее по соседству с этим числом, $(\frac{4}{5})^4$ .

переписываем:
$(\frac{5}{4})^{1-x^2}\ \textgreater \ ((\frac{4}{5})^4)^{1+x}$

упрощаем и ещё раз переписываем:
$(\frac{4}{5})^{x^2-1}\ \textgreater \ (\frac{4}{5})^{4+4x}$

напомню тебе правило опущения степеней: неравенство $c^a\ \textgreater \ c^b$ может быть преобразовано в неравенство $a\ \textgreater \ b$ при условии, что $c$ – константа, и что $c\ \textgreater \ 1$ ; если $c\in(0;1)$ , то неравенство $c^a\ \textgreater \ c^b$ принимает следующий вид: $a\ \textless \ b$ ; пользуясь им, переписываем наше неравенство в следующем виде:
$x^2-1\ \textless \ 4+4x$

упрощаем и снова переписываем:
$x^2-4x-5\ \textless \ 0$

и ещё раз:
$(x+1)(x-5)\ \textless \ 0$

методом интервалов: $x\in(-1;5)$

я постарался максимально понятно объяснить, надеюсь, ты понял.

skvrttt_zn (23.5k баллов) 15 Май, 18