Докажите признак вписанного четырёхугольника. Если угол между стороной и диагональю...

В треугольнике АВД по теореме синусов R=AD/sinα.
Также в тр-ке ACD R=AD/sinα.

1. Для треугольников АВD и ACD радиус описанной окружности одинаков, при этом они имеют общую сторону АД, значит их центры описанных окружностей совпадают, следовательно около четырёхугольника АВСD можно провести окружность.
Доказано.

2. Углы АВД и АСД лежат напротив стороны АД, значит можно сказать, что они вписанные и опираются на общую дугу АД, значит точки А, В, С и Д лежат на одной окружности, следовательно четырёхугольник АВСД - вписанный.
Доказано.

В окружности все вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны. Обратным следствием чего следует то, что если на отрезок (в нашем случае сторону АД) опираются два равных угла (в нашем случае АВД и АСД), причём с одной стороны от него (в нашем случае сверху от АД, но не сверху и снизу одновременно), то углы АВД и АСД являются вписанными в одну окружность, а сторона АД превращается в хорду. Логика.