Пожалуйста решите как можно быстрее, очень прошу.

Воспользуемся универсальной подстановкой
$z=tg \frac{x}{2}\\ arctgz=arctg(tg \frac{x}{2})\\ arctgz=\frac{x}{2}\\ x=2arctgz\\ dx=(2arctgz)'dz= \frac{2dz}{1+z^2}$
При такой подстановке мы получаем:
$sinx= \frac{2z}{1+z^2}\\\\ cosx= \frac{1-z^2}{1+z^2}$
Выполняем замену в исходном интеграле:
$\int\limits { \frac{dx}{2sinx-cosx+5} }= \int\limits { \frac{\frac{2dz}{1+z^2}}{2\frac{2z}{1+z^2}-\frac{1-z^2}{1+z^2}+5} }= \int\limits { \frac{\frac{2dz}{1+z^2}}{\frac{4z-1+z^2+5+5z^2}{1+z^2}} }= \int\limits { \frac{2dz}{4z+6z^2+4}}= \\ = \int\limits { \frac{dz}{2z+3z^2+2}}= \frac{1}{3} \int\limits { \frac{dz}{z^2+ \frac{2}{3}z+ \frac{1}{9}-\frac{1}{9} + \frac{2}{3} }}=\frac{1}{3} \int\limits { \frac{dz}{(z+ \frac{1}{3})^2+ \frac{5}{9} }}=$
$\frac{1}{3} \int\limits { \frac{d(z+ \frac{1}{3}) }{(z+ \frac{1}{3})^2+ (\frac{ \sqrt{5} }{3})^2 }}= \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{ \sqrt{5} } arctg \frac{3(z+ \frac{1}{3}) }{ \sqrt{5} } +C=\frac{1}{ \sqrt{5} } arctg \frac{3z+1}{ \sqrt{5} } +C$
Возвращаемся из замены:
$\frac{1}{ \sqrt{5} } arctg \frac{3z+1}{ \sqrt{5} } +C=\frac{1}{ \sqrt{5} } arctg \frac{3tg \frac{x}{2}+1}{ \sqrt{5} } +C$